Hola solo debes de mover el archivo a tu carpeta personal y descomprimirlo con el siguiente comando:

tar -zxvf jre-8u51-linux-x64.tar.gz

Reinicia Firefox y debe de quedar listo :)

Muchas gracias Bobsicle por su ayuda. Abusando de su amabilidad permítame que le pregunte cuál es o qué debo entender por "carpeta personal", pues por más que he intentado descomprimir el archivo en varias no consigo actualizar el dichoso Java Runtime Environment.

Hola

Tu carpeta personal esta en /home/"tu_usuario"

Agradeciendo de nuevo su ayuda, le diré que he conseguido descomprimir el archivo de actualización de Java en mi "Carpeta personal" y que posteriormente abrí, cerré y volví a abrir Firefox. Como vi que el pluggin no se había actualizado apagué el equipo y lo volví a encender sin conseguir la actualización: ¿he hecho algo mal? Le anexo tres capturas de pantalla en la que puede verse lo que le digo. Gracias de nuevo y un saludo.

Bueno. Al final el pluggin de Java se ha actualizado tras una actualización automática de Ubuntu.

Muchas gracias por su ayuda, doy por solucionado el problema (aunque no le oculto que me gustaría saber que hacer para sucesivas actualizaciones de Java).

Un cordial saludo.